Fraktal jak kalafior

Fraktale to geometryczne obiekty, które widziane z  zarówno z daleka, jak i z bardzo bliska wyglądają tak samo. Twórcą pojęcia fraktala jest wybitny matematyk polskiego
pochodzenia, prof. Benoit Mandelbrot z amerykańskiego Uniwersytetu Yale, który przedstawił teorię fraktali w latach 70. 

Praktyczne zastosowanie fraktale znajdują m.in. do opisywania
różnych zjawisk przyrodniczych. Prostym przykładem takiego
naturalnego fraktala jest kalafior. Tworzą go kwiaty, które
wyglądają podobnie jak cały kalafior: każdy kwiat składa się z
mniejszych kwiatów, te z jeszcze mniejszych itd.

FRAKTAL A MEDYCYNA

Pojęcie fraktala przydaje się także w medycynie. Tam zostało ono
wykorzystane dla określenia budowy płuc ssaków.

"Przedtem płuca były opisywane jako złożony zbiór rozgałęziających
się rurek rozmaitej długości i szerokości. Nie można ich było
opisać używając niewielu liczb, więc nie mogły być porównywane z
innymi, podobnymi "zbiorami". Dzisiaj lekarze i anatomowie
przyjęli mój model i rozwinęli go do wysokiego poziomu" - mówi
Mandelbrot. Jak dodaje naukowiec, jest to tylko jedno z zastosowań
fraktali w medycynie.

Można ich używać również np. do opisywania poprawy lub pogorszenia
stanu pacjenta w przypadku chronicznych chorób, jak np. cukrzycy.

HYDROLOGIA, TURBULENCJE, FINANSE - FRAKTALEM STOJĄ

W latach 60. prof. Mandelbrot zajmował się badaniem matematycznych
narzędzi, stworzonych dla celów czysto teoretycznych. Kiedy jednak
połączył je z innymi narzędziami stwierdził, że za ich pomocą z
powodzeniem można badać praktyczne problemy.

"Kiedy stosowałem te nowe narzędzia w wielu rozmaitych dziedzinach
wiedzy - od finansów do turbulencji powietrza lub hydrologii -
zrozumiałem, że pomimo oczywistych różnic wszystkie te dziedziny
muszą mieć u swoich podstaw istotną wspólną strukturę" - wyjaśnia.

Na początku lat 70. Mandelbrot wskazał ten wspólny czynnik.
Stwierdził, że we wszystkie te kwestie zaangażowane są obiekty
geometryczne, które w całości wyglądają tak samo, jak ich
poszczególne części.

"Nazwałem je "fraktalami" i zdecydowałem się poświęcić im resztę
mojego życia" - wspomina. - "Główną przyczyną mojego
zainteresowania był fakt, że nikt do tej pory nie próbował do tego
zagadnienia podejść, mogłem więc badać je na mój własny sposób,
bez pośpiechu" - wyznaje matematyk.

Wiele teorii naukowych tworzy się "od góry do dołu", co oznacza,
że wychodząc od ogólnych założeń dąży się do poznania ich
konsekwencji. "Moja praca o fraktalach powstawała odwrotnie: "od
dołu w górę". Idąc od szczególnych przypadków tworzyłem generalną
teorię" - wyjaśnia prof. Mandelbrot.

GŁADKIE RÓŻNICZKOWANIE

"Liczba nowych przykładów wciąż się zwiększała. Bardzo późno
zorientowałem się, że otworzyłem nowy kierunek działania w fizyce -
kierunek w stronę "chropowatości", w przeciwieństwie do
"gładkości"" - opowiada Mandelbrot.

Od czasów Newtona i Leibniza (twórców rachunku różniczkowego)
matematyka w badaniach fizycznych zajmowała się obiektami
gładkimi.

"Gładki" jest terminem technicznym. Oznacza "różniczkowalny
dostatecznie wiele razy" - objaśnia Paweł F. Góra z Instytutu
Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego.

"Bez zbytniej przesady można powiedzieć, że to dzięki analizie
matematycznej i badaniu obiektów "gładkich" mamy dziś samoloty,
komputery, loty na Księżyc, nawigacje GPS i mnóstwo innych rzeczy"
- dodaje fizyk.

Jak podkreśla, analiza matematyczna, czyli dział matematyki
zajmujący się takimi obiektami, uważany jest za najważniejszy i
stanowi podstawę wykładu matematyki na wszelkich studiach
wyższych, na których matematyka jest wykładana.

SZORSTKI JAK FRAKTAL

Tymczasem fraktale nie są gładkie. Przeciwnie, są one tak nie-
gładkie ("chropowate"), jak to tylko możliwe.

"Proszę sobie wyobrazić linię łamaną. Jest ona gładka pomiędzy
załamaniami, ale w miejscach załamań - "chropowata" (ma "ostrza")"
- mówi fizyk.

Jeden z klasycznych fraktali, krzywa Kocha, ma nieskończenie wiele
załamań. "Można powiedzieć, ze ma załamanie w każdym punkcie! Jest
więc doskonale niegładka, inaczej mówiąc doskonale "chropowata"" -
dodaje.

Podobnie jest z innymi fraktalami. Aby wyglądać tak samo -
niezależnie od powiększenia (skali) - obiekt musi być albo nudną,
płaską linią prostą, albo przeciwnie - musi być bardzo
"chropowaty".

Mandelbrot powiada, że bardzo wiele obiektów w przyrodzie (i
matematyce) ma tę cechę. "Wyglądają one tak samo w każdej skali, a
tego nie dawało się opisać w "tradycyjnej" matematyce, badającej
obiekty gładkie" - podkreśla Góra.

Urszula Jabłońska